D'ONOFRIO, G. -Stochastic in the brain - Bando "Grant for Internationalization - GFI" - 2022
ProgettoLe cellule neuronali sono le unità di base della trasmissione di informazioni all'interno del sistema nervoso dell'uomo e degli animali in generale. La fenomenologia dell'attività elettrica dei singoli neuroni e la comprensione dei meccanismi ultimi che ne sono responsabili sono stati oggetto di numerose ricerche da parte di neurofisiologi, fisici e matematici negli ultimi decenni, sebbene il quadro completo dei complessi meccanismi di comunicazione e di interazione all'interno del cervello non è ancora completamente svelato.
I modelli matematici sono uno strumento importante per i neuroscienziati e i problemi delle neuroscienze sono stati un'importante fonte di ispirazione per i nuovi progressi matematici. In un tipico contesto di modellizzazione, il neurone è visto come una particella puntiforme, il cui potenziale di membrana fluttua in risposta a input sinaptici e rumore interno. Il neurone accumula input e non appena viene superata la tensione di soglia, il neurone genera un potenziale d'azione (spike). Dopo lo spike, la tensione viene ripristinata allo stato iniziale e la dinamica ricomincia. Questa dinamica di generazione di spike è alla base della codifica neurale: i neuroni comunicano informazioni attraverso i loro potenziali d'azione che costituiscono l'alfabeto del codice neurale.
Due classi principali di modelli neuronali sono state oggetto di studi approfonditi sin dall'articolo pionieristico di Lapique (1907) che ha studiato il potenziale di membrana in termini di circuito elettrico. Diversi anni dopo (1952) Hodgkin e Huxley descrissero il comportamento del potenziale di membrana in termini di evoluzione dei canali ionici situati a cavallo della membrana del neurone. Questo tipo di modello e tutte le successive modificazioni appartengono alla classe dei modelli biofisici, per la loro aderenza alla realtà fenomenologica. Purtroppo questo modello deterministico è caratterizzato da un gran numero di parametri ed equazioni non lineari. Sono stati condotti studi su diversi tipi di biforcazione ma il più delle volte il modello non può essere analizzato analiticamente ma solo con simulazioni al computer.
L'altra classe di modelli include miglioramenti successivi del modello proposto nell'articolo di Gerstein e Mandelbrot (1964), il modello integrate and fire. Per la prima volta si incorpora la casualità del comportamento neuronale. Questo segna l'inizio della storia dei modelli neuronali basati sui processi di diffusione e dello sviluppo di una serie di risultati matematici richiesti per questo studio.
A causa della natura della generazione degli spike, il fenomeno stesso è non lineare, ma l'evoluzione temporale della membrana neuronale è spesso descritta, tra due spike consecutivi, per mezzo di un'equazione differenziale stocastica lineare (SDE), con il comportamento non lineare determinato dalla presenza della barriera. La parte di drift tiene conto degli input in entrata e la parte di diffusione riassume tutti i contributi dovuti alla casualità del fenomeno. Lo studio del processo stocastico soluzione di tale equazione può essere fatto analiticamente o utilizzando metodi di approssimazione numerica o tramite simulazione. Inoltre, il problema correlato del primo tempo di passaggio di un processo stocastico attraverso un confine variabile nel tempo, che imita l'attivazione di un potenziale d'azione, è un punto chiave. Può essere affrontato utilizzando trasformate di Laplace, equazioni integrali di Volterra, equazioni alle derivate parziali o espansioni asintotiche, a seconda della natura del problema. Spesso è necessario lo sviluppo di procedure numeriche per risolvere queste equazioni.
Sebbene sia in corso uno sforzo per incorporare proprietà biologiche realistiche in modelli e simulazioni computerizzate, di solito viene fatto un compromesso e la ricchezza dei dettagli viene sacrificata per l'accessibilità computazionale o addirittura analitica. La necessità di passare dai modelli dei singoli neuroni alla dinamica delle reti richiede un ulteriore sforzo per selezionare idonei modelli dei singoli neuroni sufficientemente semplici per essere studiati in una rete ma allo stesso tempo realistici per cogliere le caratteristiche principali delle singole unità.
In questo quadro, recentemente Kobayashi, Tsubo e Shinomoto (2009) hanno proposto un modello computazionale semplice ma veloce che può essere adattato a qualsiasi neurone. Questo modello è uno strumento efficiente e flessibile che si colloca tra i modelli di tipo Integrate and fire e i modelli biofisici. Va sotto il nome di modello MAT.
L'uso di modelli stocastici a neurone singolo aiuta a comprendere il ruolo di fattori specifici come l'inibizione, le oscillazioni e la connettività sinaptica. Inoltre è fondamentale per avvicinarsi allo studio delle reti. Questo è l'argomento che intendiamo considerare in questo progetto con l'obiettivo di estendere questi risultati al caso di reti di neuroni interconnessi. Ciò è motivato non solo dall'evidente maggiore realismo, ma anche dal rapido miglioramento della tecnologia sia negli esperimenti che informatica.
Il cervello comprende una varietà di neuroni le cui risposte alla stessa corrente possono essere molto diverse. Pertanto un modello in grado di riprodurre con precisione la risposta di qualsiasi neurone a qualsiasi corrente di ingresso è di primaria importanza. Chiaramente, questo tipo di analisi implica importanti problemi matematici che dovrebbero essere risolti per consentire lo studio della rete e il suo confronto con i dati sperimentali.
Il modello MAT è in grado di riprodurre una ricca varietà di risposte neuronali, regolando solo tre parametri. Per la sua elevata flessibilità e bassi costi computazionali il modello MAT è il candidato perfetto per l'estensione del modello a singolo neurone al caso di reti di neuroni ma il suo studio matematico è ancora limitato dall'uso di strumenti di simulazione.
Lo scopo del progetto è indagare aspetti matematici e ottenere risultati su reti di modelli MAT utilizzando l'approccio analitico.
La rete sarà descritta da un sistema di un gran numero di SDE possibilmente non lineari che sono interconnesse. La parte di drift di ciascuna equazione conterrà il contributo dei neuroni circostanti. Le interconnessioni tra i neuroni saranno descritte da una funzione di covarianza multivariata. La parte di diffusione può dipendere dallo stato dei potenziali di membrana dei neuroni della rete.
Il problema, pur ricco di complessità, può essere affrontato unendo le competenze sui modelli a singolo neurone del gruppo di Probabilità, presso il dipartimento di Matematica dell'Università di Torino con quelle sul modello MAT nel gruppo Kori-Kobayashi-Izumida di Fisica non lineare all'Università di Tokyo e Massimiliano Tamborrino (Università di Warwick) che ha già una lunga collaborazione con entrambi i gruppi.
I membri del progetto a Torino lavorano da molti anni allo studio di modelli neuronali da un punto di vista analitico e computazionale. Inoltre sono già apparsi molti contributi sull'estensione di questi modelli alle reti. In particolare a Torino esiste una lunga tradizione nello studio del primo tempo di passaggio di processi stocastici attraverso una soglia, fenomeno che è la controparte matematica della generazione di un potenziale d'azione.
Recentemente, alcuni autori (molti di loro parteciperanno a questo progetto) hanno presentato un metodo per dedurre la connettività neuronale dai dati degli spike applicando il modello MAT. A questi risultati computazionali e statistici dovrebbero essere aggiunti anche risultati analitici ed esatti per migliorare la comprensione delle proprietà, per facilitare il processo di ottimizzazione dei parametri e persino ottenere indicazioni sul tipo di dati sperimentali da raccogliere.
Ciò avverrà attraverso un continuo scambio scientifico tra Italia e Giappone anche grazie ad una serie di incontri in presenza che amplieranno la dimensione internazionale dell'Università di Torino, costruendo una forte collaborazione internazionale la cui durata andrà oltre la scadenza del progetto.
I modelli matematici sono uno strumento importante per i neuroscienziati e i problemi delle neuroscienze sono stati un'importante fonte di ispirazione per i nuovi progressi matematici. In un tipico contesto di modellizzazione, il neurone è visto come una particella puntiforme, il cui potenziale di membrana fluttua in risposta a input sinaptici e rumore interno. Il neurone accumula input e non appena viene superata la tensione di soglia, il neurone genera un potenziale d'azione (spike). Dopo lo spike, la tensione viene ripristinata allo stato iniziale e la dinamica ricomincia. Questa dinamica di generazione di spike è alla base della codifica neurale: i neuroni comunicano informazioni attraverso i loro potenziali d'azione che costituiscono l'alfabeto del codice neurale.
Due classi principali di modelli neuronali sono state oggetto di studi approfonditi sin dall'articolo pionieristico di Lapique (1907) che ha studiato il potenziale di membrana in termini di circuito elettrico. Diversi anni dopo (1952) Hodgkin e Huxley descrissero il comportamento del potenziale di membrana in termini di evoluzione dei canali ionici situati a cavallo della membrana del neurone. Questo tipo di modello e tutte le successive modificazioni appartengono alla classe dei modelli biofisici, per la loro aderenza alla realtà fenomenologica. Purtroppo questo modello deterministico è caratterizzato da un gran numero di parametri ed equazioni non lineari. Sono stati condotti studi su diversi tipi di biforcazione ma il più delle volte il modello non può essere analizzato analiticamente ma solo con simulazioni al computer.
L'altra classe di modelli include miglioramenti successivi del modello proposto nell'articolo di Gerstein e Mandelbrot (1964), il modello integrate and fire. Per la prima volta si incorpora la casualità del comportamento neuronale. Questo segna l'inizio della storia dei modelli neuronali basati sui processi di diffusione e dello sviluppo di una serie di risultati matematici richiesti per questo studio.
A causa della natura della generazione degli spike, il fenomeno stesso è non lineare, ma l'evoluzione temporale della membrana neuronale è spesso descritta, tra due spike consecutivi, per mezzo di un'equazione differenziale stocastica lineare (SDE), con il comportamento non lineare determinato dalla presenza della barriera. La parte di drift tiene conto degli input in entrata e la parte di diffusione riassume tutti i contributi dovuti alla casualità del fenomeno. Lo studio del processo stocastico soluzione di tale equazione può essere fatto analiticamente o utilizzando metodi di approssimazione numerica o tramite simulazione. Inoltre, il problema correlato del primo tempo di passaggio di un processo stocastico attraverso un confine variabile nel tempo, che imita l'attivazione di un potenziale d'azione, è un punto chiave. Può essere affrontato utilizzando trasformate di Laplace, equazioni integrali di Volterra, equazioni alle derivate parziali o espansioni asintotiche, a seconda della natura del problema. Spesso è necessario lo sviluppo di procedure numeriche per risolvere queste equazioni.
Sebbene sia in corso uno sforzo per incorporare proprietà biologiche realistiche in modelli e simulazioni computerizzate, di solito viene fatto un compromesso e la ricchezza dei dettagli viene sacrificata per l'accessibilità computazionale o addirittura analitica. La necessità di passare dai modelli dei singoli neuroni alla dinamica delle reti richiede un ulteriore sforzo per selezionare idonei modelli dei singoli neuroni sufficientemente semplici per essere studiati in una rete ma allo stesso tempo realistici per cogliere le caratteristiche principali delle singole unità.
In questo quadro, recentemente Kobayashi, Tsubo e Shinomoto (2009) hanno proposto un modello computazionale semplice ma veloce che può essere adattato a qualsiasi neurone. Questo modello è uno strumento efficiente e flessibile che si colloca tra i modelli di tipo Integrate and fire e i modelli biofisici. Va sotto il nome di modello MAT.
L'uso di modelli stocastici a neurone singolo aiuta a comprendere il ruolo di fattori specifici come l'inibizione, le oscillazioni e la connettività sinaptica. Inoltre è fondamentale per avvicinarsi allo studio delle reti. Questo è l'argomento che intendiamo considerare in questo progetto con l'obiettivo di estendere questi risultati al caso di reti di neuroni interconnessi. Ciò è motivato non solo dall'evidente maggiore realismo, ma anche dal rapido miglioramento della tecnologia sia negli esperimenti che informatica.
Il cervello comprende una varietà di neuroni le cui risposte alla stessa corrente possono essere molto diverse. Pertanto un modello in grado di riprodurre con precisione la risposta di qualsiasi neurone a qualsiasi corrente di ingresso è di primaria importanza. Chiaramente, questo tipo di analisi implica importanti problemi matematici che dovrebbero essere risolti per consentire lo studio della rete e il suo confronto con i dati sperimentali.
Il modello MAT è in grado di riprodurre una ricca varietà di risposte neuronali, regolando solo tre parametri. Per la sua elevata flessibilità e bassi costi computazionali il modello MAT è il candidato perfetto per l'estensione del modello a singolo neurone al caso di reti di neuroni ma il suo studio matematico è ancora limitato dall'uso di strumenti di simulazione.
Lo scopo del progetto è indagare aspetti matematici e ottenere risultati su reti di modelli MAT utilizzando l'approccio analitico.
La rete sarà descritta da un sistema di un gran numero di SDE possibilmente non lineari che sono interconnesse. La parte di drift di ciascuna equazione conterrà il contributo dei neuroni circostanti. Le interconnessioni tra i neuroni saranno descritte da una funzione di covarianza multivariata. La parte di diffusione può dipendere dallo stato dei potenziali di membrana dei neuroni della rete.
Il problema, pur ricco di complessità, può essere affrontato unendo le competenze sui modelli a singolo neurone del gruppo di Probabilità, presso il dipartimento di Matematica dell'Università di Torino con quelle sul modello MAT nel gruppo Kori-Kobayashi-Izumida di Fisica non lineare all'Università di Tokyo e Massimiliano Tamborrino (Università di Warwick) che ha già una lunga collaborazione con entrambi i gruppi.
I membri del progetto a Torino lavorano da molti anni allo studio di modelli neuronali da un punto di vista analitico e computazionale. Inoltre sono già apparsi molti contributi sull'estensione di questi modelli alle reti. In particolare a Torino esiste una lunga tradizione nello studio del primo tempo di passaggio di processi stocastici attraverso una soglia, fenomeno che è la controparte matematica della generazione di un potenziale d'azione.
Recentemente, alcuni autori (molti di loro parteciperanno a questo progetto) hanno presentato un metodo per dedurre la connettività neuronale dai dati degli spike applicando il modello MAT. A questi risultati computazionali e statistici dovrebbero essere aggiunti anche risultati analitici ed esatti per migliorare la comprensione delle proprietà, per facilitare il processo di ottimizzazione dei parametri e persino ottenere indicazioni sul tipo di dati sperimentali da raccogliere.
Ciò avverrà attraverso un continuo scambio scientifico tra Italia e Giappone anche grazie ad una serie di incontri in presenza che amplieranno la dimensione internazionale dell'Università di Torino, costruendo una forte collaborazione internazionale la cui durata andrà oltre la scadenza del progetto.