D'ONOFRIO, G. -Stochastic in the brain - Bando "Grant for Internationalization - GFI" - 2022
Progetto Le cellule neuronali sono le unità di base della trasmissione di informazioni all'interno del sistema nervoso dell'uomo e degli animali in generale. La fenomenologia dell'attività elettrica dei singoli neuroni e la comprensione dei meccanismi ultimi che ne sono responsabili sono stati oggetto di numerose ricerche da parte di neurofisiologi, fisici e matematici negli ultimi decenni, sebbene il quadro completo dei complessi meccanismi di comunicazione e di interazione all'interno del cervello non è ancora completamente svelato.
I modelli matematici sono uno strumento importante per i neuroscienziati e i problemi delle neuroscienze sono stati un'importante fonte di ispirazione per i nuovi progressi matematici. In un tipico contesto di modellizzazione, il neurone è visto come una particella puntiforme, il cui potenziale di membrana fluttua in risposta a input sinaptici e rumore interno. Il neurone accumula input e non appena viene superata la tensione di soglia, il neurone genera un potenziale d'azione (spike). Dopo lo spike, la tensione viene ripristinata allo stato iniziale e la dinamica ricomincia. Questa dinamica di generazione di spike è alla base della codifica neurale: i neuroni comunicano informazioni attraverso i loro potenziali d'azione che costituiscono l'alfabeto del codice neurale.
Due classi principali di modelli neuronali sono state oggetto di studi approfonditi sin dall'articolo pionieristico di Lapique (1907) che ha studiato il potenziale di membrana in termini di circuito elettrico. Diversi anni dopo (1952) Hodgkin e Huxley descrissero il comportamento del potenziale di membrana in termini di evoluzione dei canali ionici situati a cavallo della membrana del neurone. Questo tipo di modello e tutte le successive modificazioni appartengono alla classe dei modelli biofisici, per la loro aderenza alla realtà fenomenologica. Purtroppo questo modello deterministico è caratterizzato da un gran numero di parametri ed equazioni non lineari. Sono stati condotti studi su diversi tipi di biforcazione ma il più delle volte il modello non può essere analizzato analiticamente ma solo con simulazioni al computer.
L'altra classe di modelli include miglioramenti successivi del modello proposto nell'articolo di Gerstein e Mandelbrot (1964), il modello integrate and fire. Per la prima volta si incorpora la casualità del comportamento neuronale. Questo segna l'inizio della storia dei modelli neuronali basati sui processi di diffusione e dello sviluppo di una serie di risultati matematici richiesti per questo studio.
A causa della natura della generazione degli spike, il fenomeno stesso è non lineare, ma l'evoluzione temporale della membrana neuronale è spesso descritta, tra due spike consecutivi, per mezzo di un'equazione differenziale stocastica lineare (SDE), con il comportamento non lineare determinato dalla presenza della barriera. La parte di drift tiene conto degli input in entrata e la parte di diffusione riassume tutti i contributi dovuti alla casualità del fenomeno. Lo studio del processo stocastico soluzione di tale equazione può essere fatto analiticamente o utilizzando metodi di approssimazione numerica o tramite simulazione. Inoltre, il problema correlato del primo tempo di passaggio di un processo stocastico attraverso un confine variabile nel tempo, che imita l'attivazione di un potenziale d'azione, è un punto chiave. Può essere affrontato utilizzando trasformate di Laplace, equazioni integrali di Volterra, equazioni alle derivate parziali o espansioni asintotiche, a seconda della natura del problema. Spesso è necessario lo sviluppo di procedure numeriche per risolvere queste equazioni.
Sebbene sia in corso uno sforzo per incorporare proprietà biologiche realistiche in modelli e simulazioni computerizzate, di solito viene fatto un compromesso e la ricchezza dei dettagli viene sacrificata per l'accessibilità computazionale o addirittura analitica. La necessità d