Nodal Optimization, NOnlinear elliptic equations, NOnlocal geometric problems, with a focus on regularity - Finanziamento dell’Unione Europea – NextGenerationEU – missione 4, componente 2, investimento 1.1.

Siamo interessati a diversi problemi di analisi delle equazioni differenziali alle derivate parziali (PDEs) e del calcolo delle variazioni che sorgono in fisica e altre scienze, relativi alle seguenti macro-aree: A. Comportamento asintotico delle soluzioni di sistemi competitivi, analisi degli insiemi nodali e proprietà spettrali dei problemi singolarmente perturbati. Questo include la regolarità delle interfacce nei modelli di separazione di fase e nei problemi di partizione ottimale, lo studio degli insiemi nodali per le soluzioni dei problemi ellittici e l'analisi qualitativa e quantitativa delle proprietà spettrali in presenza di perturbazioni singolari del dominio di riferimento. B. Ottimizzazione di forma e problemi con frontiera libera, con un focus sui problemi di ottimizzazione di forma derivanti dall'elettrodinamica e dai modelli quantistici con competizione di aggregazione/dispersione e sui modelli biologici con vari tipi di diffusione. C. Aspetti teorici dei problemi ellittici non lineari, con un focus su tre problemi prototipo: esistenza e proprietà dei punti critici per le equazioni di Schrödinger non lineari su domini di vario tipo o su grafi; fenomeni di blow-up o compattezza delle soluzioni per equazioni di tipo Yamabe; teoria della regolarità per l'equazione della curvatura media nello spazio di Lorentz-Minkowski. D. Problemi geometrici non locali, con un focus sulla teoria della regolarità per superfici minime non locali, la classificazione delle soluzioni intere dell'equazione di Allen-Cahn frazionaria e l'analisi del flusso della curvatura media non locale, sia dal punto di vista della regolarità che dal punto di vista del comportamento a lungo termine. In ciascun punto, desideriamo comprendere gli aspetti teorici e il loro possibile impatto sul modello. Una caratteristica principale di questo progetto risiede nel fatto che, nonostante la varietà dei problemi che intendiamo affrontare, esiste un notevole unità metodologica. Le diverse questioni richiedono tutte competenza nei metodi variazionali e nella teoria dei punti critici, nella teoria della regolarità e nella teoria qualitativa per equazioni ellittiche e paraboliche, nell'analisi del blow-up e nelle formule di monotonia, nella teoria geometrica della misura.