In matematica, una strategia comune per comprendere un oggetto complesso o sconosciuto consiste nello studiare come esso interagisce con qualcosa di più semplice o ben compreso: come l’oggetto “vede il mondo” e come l’oggetto “è visto dal mondo che lo circonda”.
Uno degli strumenti più potenti in questo senso è la teoria delle rappresentazioni. Esprimendo strutture algebriche astratte - come gruppi, anelli o algebre di Lie - come trasformazioni di oggetti familiari come spazi vettoriali o insiemi geometrici, esse diventano più tangibili. Questo processo ci consente di “rappresentare” l’astratto in termini concreti. Analogamente, nello spirito del Programma di Erlangen di Klein, la geometria spesso descrive le figure attraverso le loro simmetrie, cioè considerando le trasformazioni dello spazio che lasciano inalterata la figura stessa. Questo punto di vista basato sulla simmetria ha avuto un’enorme influenza sia nella matematica pura che in quella applicata.
Tuttavia, esistono casi importanti e sorprendentemente semplici in cui questo approccio classico non è sufficiente. Ad esempio, il gruppo di simmetrie di un rettangolo è lo stesso di quello di una coppia di cerchi tangenti. Tuttavia, la maggior parte delle persone concorderebbe sul fatto che la coppia di cerchi sembri “più simmetrica”. Un’analisi matematica che considera solo le simmetrie globali (come quelle descritte dai gruppi) non coglie questa distinzione. Allo stesso modo, gruppi diversi possono avere teorie delle rappresentazioni che appaiono identiche se considerate tramite rappresentazioni complesse, come accade per il gruppo ciclico di ordine 4 e il prodotto di due gruppi ciclici di ordine 2, poiché le loro algebre di gruppo sono isomorfe. Dunque, anche con la teoria delle rappresentazioni non sempre è possibile distinguere tra strutture algebriche diverse. Questi esempi mostrano che i gruppi e le loro rappresentazioni, pur essendo strumenti potenti, talvolta risultano inadatti a cogliere le simmetrie o le strutture “nascoste” o “interne”.
Vi è quindi un’esigenza di nuovi strumenti e tecniche per affrontare matematicamente la complessità dei problemi concreti.
Il progetto HADRA affronta questa lacuna sviluppando la teoria degli algebroidi di Hopf - noti anche come gruppoidi quantistici - e delle loro rappresentazioni, con l’obiettivo di ideare nuove tecniche per trattare quei casi che sfuggono alla teoria classica delle rappresentazioni. In termini generali, gli algebroidi di Hopf estendono le algebre di Hopf e costituiscono un analogo non commutativo dei gruppoidi nel dizionario algebra-geometria. La loro teoria delle rappresentazioni comprende le rappresentazioni parziali di gruppi e delle algebre di Hopf, e si collega naturalmente al problema dell’integrazione degli algebroidi di Lie e alla costruzione di funzioni rappresentative su gruppoidi. In questo senso, HADRA, guidato da domande strutturali e da motivazioni geometriche, mira a costruire nuovi strumenti algebrici per i casi in cui la teoria classica non è sufficiente. Insieme agli algebroidi di Hopf, il progetto prende in considerazione anche altre strutture algebriche moderne come i semigruppi inversi (quantistici), gli heap e le truss, che offrono approcci complementari alla modellizzazione di simmetrie parziali e sistemi affini o indipendenti dal sistema di riferimento. L’obiettivo generale è quello di sviluppare una teoria unificata e flessibile, capace di trattare gli aspetti sia locali che globali delle simmetrie in un contesto (non) commutativo.