Pattern formation in nonlinear phenomena - Finanziamento dell’Unione Europea – NextGenerationEU – missione 4, componente 2, investimento 1.1.
Progetto Siamo interessati all'effetto delle nonlinearità sull'emergere di modelli non banali in diversi modelli differenziali che si presentano in fisica e in altre scienze. Tali strutture auto-organizzate corrispondono a soluzioni selezionate del problema differenziale, che possiedono alcune simmetrie speciali o che hanno forme particolari. Vogliamo comprendere i principali meccanismi analitici coinvolti in questo processo in termini di struttura variazionale comune dei problemi. Una caratteristica di questo progetto risiede infatti nell'interscambio di strategie di attacco tra diverse applicazioni specifiche nei campi delle equazioni differenziali parziali e dei sistemi e sistemi hamiltoniani. Vi è una notevole unità metodologica tra le diverse parti del progetto. D'altra parte, tutti i temi proposti devono essere affrontati con spirito interdisciplinare e richiedono competenze in diversi campi della matematica: metodi variazionali e topologici, teoria qualitativa e della regolarità per PDE e problemi al contorno libero, teoria di Morse e del punto critico, topologia equivariante, teoria della misura geometrica. Intendiamo affrontare i seguenti temi fortemente interconnessi:
A. Formazione di pattern in sistemi di reazione-diffusione, separazione di fase e problemi di partizione ottimale, derivanti da modelli multispecie e multiagente. Include l'analisi delle interfacce tra le diverse fasi in presenza di diffusioni e interazioni non locali.
B. Ottimizzazione della forma, problemi di confine libero, compresa la dinamica degli insiemi nodali e dei confini liberi in problemi evolutivi, nonché problemi di ottimizzazione del dominio spettrale.
C. Soluzioni complesse in Meccanica Celeste e PDE Hamiltoniane, dove cerchiamo soluzioni con un comportamento prescritto al problema del corpo N e studiamo le loro proprietà di stabilità, con l'intento finale di individuare il verificarsi di un caos controllato. Gli stessi paradigmi saranno applicati alla ricerca di soluzioni intere di diverse classi di PDE.
D. Domini complessi e loro effetti sulle soluzioni di equazioni lineari e non lineari. Ci concentriamo sugli effetti delle proprietà geometriche e topologiche globali, nonché su fatti più locali, come la continuazione unica e gli effetti di confine.
E. Problemi geometrici variazionali e fenomeni di concentrazione, come appaiono nei problemi di curvatura prescritta, nella geometria conforme, nella fisica matematica e nello studio delle equazioni differenziali parziali e dei sistemi quando si verificano nonlinearità critiche o, per alcuni valori limite di un parametro, appaiono soluzioni speciali che esibiscono un comportamento singolare limitante.
Questa proposta mira ad affrontare tutti questi diversi problemi con la stessa metodologia di base, che si basa sulla loro comune struttura perturbativa e/o variazionale. Ciò richiede competenze in diversi campi dell'analisi matematica e delle PDE.