Ci interessiamo degli effetti delle non linearità sull'emergere di motivi (pattern) non banali in diversi modelli differenziali che intervengono in fisica e in altre scienze. Tali strutture auto-organizzate corrispondono a soluzioni particolari del problema differenziale, e possiedono alcune simmetrie speciali o approssimano forme particolari. Ci prefiggiamo di comprendere i principali meccanismi analitici coinvolti in questo processo in termini della struttura variazionale comune ai problemi. Una caratteristica di questo progetto risiede infatti nell'interscambio di strategie di attacco tra diverse applicazioni specifiche nel campo delle equazioni alle derivate parziali e dei sistemi Hamiltoniani. C'è una notevole unità nella metodologia tra le diverse parti del progetto. D'altra parte, tutte le questioni proposte devono essere affrontate in spirito interdisciplinare e richiedono competenze in diversi campi della matematica: metodi variazionali e topologici, teoria qualitativa e della regolarità per PDE e problemi di confine libero, teoria di Morse e dei punti critici, topologia equivariante, teoria della misura Intendiamo affrontare i seguenti temi fortemente interconnessi:
A. Formazione di pattern in sistemi di reazione-diffusione, separazione di fase e problemi di partizione ottimale, che emergono in modelli multispecie e multiagente. Include l'analisi delle interfacce tra le diverse fasi in presenza di diffusioni e interazioni non locali.
B. Ottimizzazione della forma, problemi di frontiera libera, inclusa la dinamica degli insiemi nodali e delle interfacce nei problemi evolutivi, nonché problemi di ottimizzazione spettrale dei domini.
C. Soluzioni complesse in Meccanica Celeste e PDE Hamiltoniane, dove si cercano soluzioni con comportamento prescritto al problema degli N-corpi e si studiano le loro proprietà di stabilità, con l'intento finale di rilevare il verificarsi del caos controllato. Gli stessi paradigmi verranno applicati alla ricerca di intere soluzioni di diverse classi di PDE.
D. Domini complessi e loro effetti sulle soluzioni di equazioni lineari e non lineari. Ci concentreremo sugli effetti delle proprietà geometriche e topologiche globali, nonché su fatti più locali, come la continuazione unica e gli effetti al contorno. Inoltre, indagheremo le PDE non lineari sui grafi.
E. Problemi di perturbazione singolare e fenomeni di concentrazione, come appaiono nello studio Equazioni differenziali parziali e sistemi quando, per alcuni valori limite di un parametro, compaiono soluzioni speciali che esibiscono un comportamento limitante singolare. Questi fenomeni sono centrali anche nella geometria conforme, dove il comportamento singolare si manifesta sotto forma di "bubbling" innescato dalla criticità del termine non lineare.
Questo progetto mira ad affrontare tutte queste diverse problematiche con la stessa metodologia di base che si basa sulla loro comune struttura perturbativa e/o variazionale. Ciò richiede competenze in diversi campi dell'analisi matematica e della PDE.