Non-Markovian dynamics and non-local equations - Finanziamento dell’Unione Europea – NextGenerationEU – missione 4, componente 2, investimento 1.1.

La dualità tra processi di Markov ed equazioni differenziali parziali (PDE) è un pilastro della teoria delle probabilità e dell'analisi ed ha portato a progressi teorici sorprendenti e nuove applicazioni in entrambi i campi. Gli strumenti probabilistici hanno fornito una prova concettuale per le PDE e viceversa; dinamiche macroscopiche e microscopiche sono state collegate per la prima volta utilizzando le PDE verificate da medie di processi di Markov o dalla distribuzione dei loro tempi di uscita. Le Equazioni alle derivate parziali stocastiche (SPDE) possono emergere per tenere conto degli effetti casuali nell'evoluzione aggiungendo un opportuno rumore spazio-temporale. Tuttavia, l'ipotesi di Markov, secondo cui "passato e futuro sono indipendenti se conosciamo il presente", è molto forte, eppure molti fenomeni reali non seguono questa regola. Il nostro ambizioso obiettivo è sviluppare una teoria, analoga alla dualità tra processi di Markov e PDE, valida per equazioni non locali (nella variabile temporale). Ciò ha il potenziale per aprire nuovi orizzonti consentendo una comprensione più profonda degli effetti della memoria. Per raggiungere questo obiettivo, ci concentreremo in particolare sulla classe di processi stocastici con la proprietà di essere semi-Markoviani, che quindi sono autorizzati a rimanere costanti per intervalli temporali arbitrariamente distribuiti. Ciò introduce memoria nell'evoluzione ed è associato a un operatore integro-differenziale non locale che agisce sulla variabile temporale. Considereremo quindi la possibilità di tenere conto degli effetti casuali/perturbazioni aggiungendo rumore spazio-temporale, studiando quindi la corrispondente SPDE (non locale nel tempo). Il successo del nostro approccio darà vita a un nuovo pilastro, accanto a quello esistente costituito dall'interazione tra le PDE e i processi di Markov, con implicazioni comparabili. Nella Meccanica Statistica, nuovi paradigmi interpretativi metteranno in relazione comportamenti macroscopici e microscopici, ad esempio, nella modellazione della conduzione del calore anomala o nella teoria cinetica dei gas. Risultati esplorativi in questa direzione [ORTJ, RTPA, STAI] indicano fortemente la fattibilità del nostro approccio. La riuscita implementazione di questo progetto può avere implicazioni fondamentali nello sviluppo di una teoria completa per una classe di processi con memoria. In particolare, questi nuovi risultati avranno un forte impatto in diversi campi. Nella Teoria delle Probabilità ci aspettiamo importanti conseguenze soprattutto nella teoria dei processi semi-Markoviani, passeggiate casuali a tempo continuo, diffusione anomala e tempi di prima uscita dei processi con memoria. Nella Fisica Matematica i nostri risultati avranno impatti soprattutto nei contesti della teoria cinetica dei gas e della conduzione del calore anomala. Nell'Analisi Matematica miglioreremo la teoria delle equazioni integro-differenziali (per le quali forniremo rappresentazioni stocastiche delle soluzioni) e dei loro controparti stocastiche (perturbate casualmente). Applicazioni di questi risultati a problemi industriali possono rappresentare un ulteriore vantaggio della ricerca programmata.