Oggigiorno i grafi hanno assunto un'importanza significativa, dato il loro utilizzo per descrivere la dinamica di sistemi complessi, con applicazioni rilevanti a problemi del mondo reale, ad esempio la rappresentazione tramite grafi del cervello, delle reti sociali, delle reti biologiche e la diffusione di malattie, ecc. La definizione intuitiva e semplice di un grafo, tramite nodi, archi pesati tra nodi e matrice di adiacenza, ha portato a una continua espansione di questo campo di ricerca negli ultimi decenni, dando origine a nuovi approcci innovativi e a una ricerca interdisciplinare e multidisciplinare. Certamente, la possibilità di definire e studiare segnali su un grafo ha giocato un ruolo centrale nella crescente attenzione verso la ricerca sui grafi.
L'obiettivo principale del progetto TIGRECO (Segnali tempo-varianti su Grafi: metodi REali e COmpleSSI) è introdurre nuovi metodi matematici utili per l’elaborazione di segnali variabili nel tempo su grafi. Vogliamo focalizzarci su questo aspetto sia dal punto di vista teorico che numerico, oltre che attraverso applicazioni concrete. Un'applicazione possibile riguarda lo studio di segnali come le serie temporali di fMRI (risonanza magnetica funzionale), utilizzate per comprendere meglio l'attività del cervello umano.
Il progetto avrà due principali obiettivi distinti:
(O1) Introdurre nuove trasformate multiscala per serie temporali su grafi da un punto di vista teorico rigoroso, studiando anche le proprietà teoriche relative alla stabilità dei filtri sui grafi e le problematiche di campionamento per segnali su grafi continui in spazi di Paley-Wiener.
(O2) Studiare l’aspetto numerico dei metodi introdotti, tramite teoria dell’approssimazione, ottimizzazione e parallelizzazione, in modo da renderli utilizzabili in applicazioni. Testare i metodi introdotti su esempi concreti come i dati registrati dal cervello (fMRI) per ottenere maggiori informazioni sulle interazioni tra le aree distribuite della corteccia cerebrale.
Per quanto ne sappiamo, nessuno ha mai pubblicato risultati relativi ai metodi matematici proposti in questo progetto. Il campo di ricerca legato alla Graph Signal Processing (GSP) è nuovo, e ciò che manca è un solido quadro teorico che possa essere utilizzato in diverse applicazioni. Riteniamo che, con i pacchetti di lavoro scientifici proposti in TIGRECO, contribuiremo ad avanzare la conoscenza riguardo ai metodi necessari per studiare segnali variabili nel tempo utilizzando approcci sia reali che complessi. Per quest’ultimo approccio saremo i pionieri nello sviluppo di una “teoria dell’analisi complessa” per la GSP.
Inoltre, adottando un approccio interdisciplinare per fornire nuovi strumenti concreti utili allo studio di dati cerebrali come le serie temporali fMRI, contribuiremo anche al progresso della ricerca nella comprensione del cervello umano tramite metodi non invasivi.
Siamo ottimisti che i punti di forza di questo progetto e i suoi risultati finali saranno positivamente influenzati dall’eterogeneità e dalla complementarità dei campi di ricerca dei suoi membri.