Differential-geometric aspects of manifolds via Global Analysis - Finanziamento dell’Unione Europea – NextGenerationEU – missione 4, componente 2, investimento 1.1.

Negli ultimi 50 anni, l'analisi geometrica ha assunto un ruolo importante nello studio delle varietà Riemanniane, Lorentziane e quasi complesse. In breve, dato un problema geometrico, consiste nell'utilizzo di strumenti provenienti dall'Analisi per cogliere le proprietà degli oggetti coinvolti. Principalmente, la teoria delle equazioni alle derivate parziali, la teoria della misura geometrica e la teoria degli operatori hanno un ruolo centrale. Un tipico esempio è dato dai flussi geometrici come quelli di Ricci, di curvatura media e di curvatura media inversa, che sono stati applicati con notevole successo per modificare una struttura geometrica verso una ``migliore", con l'obiettivo (non esclusivamente) di classificare la varietà sottostante. Il loro utilizzo ha portato a risultati rivoluzionari, tra cui la soluzione delle congetture di Poincaré e di Geometrizzazione e la dimostrazione della disuguaglianza di Penrose nella Relatività Generale. In questi casi l'approccio porta a studiare equazioni paraboliche degeneri e sistemi ellittici, questi ultimi derivanti da modelli di singolarità per il flusso e presentanti significative somiglianze con l'equazione di Einstein. Pertanto, lo studio dell'interazione tra i dati geometrici/topologici sulla varietà e il comportamento qualitativo delle soluzioni alle PDE ivi definite è al centro dell'analisi geometrica. Il progetto si concentra su vari esempi, motivati anche dalla Fisica, dove a nostro avviso l'interazione è particolarmente efficace ed intrigante.